Modelo para las cadenas de correo electrónico

Supongamos que maliciosamente alguien envía una cadena de correo electrónico a las direcciones de 50 personas. Supongamos también que en el mensaje de este correo se pide reenviarlo a diez direcciones a cambio de algún premio. Como el premio es lo suficientemente bueno como para desperdiciar la oportunidad, los primeros destinatarios lo reenvían cada uno a diez direcciones de acuerdo con las instrucciones. Y cada destinatario hace lo propio, de manera que en el segundo reenvío el mensaje es enviado a $50(10)=500$ personas y en el tercero a $500(10)=5\ 000$ y así continúa.

Entonces el número de personas que reciben el mensaje en cada reenvío seguirá la sucesión $$50, \;500, \;5\ 000, \;50\ 000, \;500\ 000,...$$ dado que en cada reenvío el número de destinatarios se multiplica por diez. Podemos reescribir esta sucesión como $$50=50(10^{0}), \;500=50(10^{1}), \;5\ 000=50(10^{2}), $$ $$50\ 000=50(10^{3}), \;500\ 000=50(10^{4}),...$$

Llamemos a cada elemento de la sucesión $a_i$, de modo que $a_0=50, a_1=50(10^{1}), a_2=50(10^{2}),$ $a_3=50(10^{3}),a_4=50(10^{4}),...$ etcétera.  Observa  también que $a_1=a_0(10), a_2=a_1(10), a_3=a_2(10), a_4=a_3(10),...$ y así sucesivamente. Por lo que si seguimos con la sucesión, tendremos que $a_n=a_{n-1}(10)$ será el $n$-ésimo término. Aquí $n$ es un número natural.

Entonces: $$a_1=a_0(10)$$ $$a_2=a_1(10)=a_0(10)(10)=a_010^{2}$$ $$a_3=a_2(10)=a_0(10)^{2}(10)=a_010^{3}$$ $$a_4=a_3(10)=a_010^{3}(10)=a_010^{4}$$ $$a_5=a_4(10)=a_010^{4}(10)=a_010^{5}$$

¿Observas el patrón que siguen los elementos de la sucesión? Podemos dar una expresión para el $n$-ésimo término de la sucesión sin tener que conocer el anterior. Seguramente pensaste, que este valor de $a_n$ será $a_010^{n}$ y como $a_0=50$, entonces se tiene que $a_n=50(10^{n})$, donde $n$ es un entero no negativo (o sea que puede valer: $0,1,2,3,4,5...$).

De esta forma, podemos saber que en el reenvío número $12$, el mensaje será recibido por: $$50(10^{12})=50\ 000\ 000\ 000\ 000$$ de personas

Este es el modelo de transmisión de un rumor de condición inicial $a_0$ y reenvío $r$. Inicia dispersando el rumor a $a_0$ personas y cada una de ellas lo reenvían a otras $r$. En este ejemplo supusimos que $a_0=50$ y $r=10$ por eso $a_n=a_010^{n}=50(10^{n})$.

Para el caso general, se tendrá $$a_n=a_0r^{n}$$ donde $a_0$ es la cantidad inicial de personas a las que se envía el mensaje y $r$ el número de mensajes reenviados en cada paso.

Aunque esta ecuación dice cuántas personas reciben el correo en un determinado reenvío $n$, no nos da el total de personas que lo han recibido hasta ese momento.

¿Cómo podemos obtener la suma total de una sucesión como la que encontramos en un cierto envío $n$? Denotemos esta suma como $S_n$, es decir $S_n=a_0+a_1+a_2+...+a_n$. Hagamos un poco de manipulación algebraica para encontrar su valor.

Primero tomemos $S_n=a_0+a_1+a_2+...+a_n$ y multipliquemos por $10$ -la cantidad de reenvíos en cada paso-  cada lado de la igualdad. Entonces, tendremos $10S_n=10a_0+10a_1+10a_2+...+10a_n$.

Ahora hagamos la resta siguiente $$10S_n -S_n=10a_0+10a_1+10a_2+...+10a_n-(a_0+a_1+a_2+...+a_n)$$ Recordemos que $$a_1=10a_0, a_2=10a_1, a_3=10a_2, a_4=10a_3,...,a_n=10a_{n-1}$$ por lo que tenemos que

$$10S_n-S_n=10a_0+10a_1+10a_2+...+10a_n-a_0-10a_0-10a_1-10a_2-...-10a_{n-1}$$

y entonces $$10S_n-S_n=10a_n -a_0$$ que es equivalente a:

$$ (10-1)S_n=10a_n -a_0$$

De aquí y recordando que $a_n=a_010^{n}$ podemos despejar finalmente $S_n$:

$$S_n=\frac{10a_n -a_0}{(10-1)}=\frac{10a_010^{n}-a_0}{10-1}=\frac{a_010^{n+1}-a_0}{9}$$ $$\qquad=\frac{a_0(10^{n+1}-1)}{9}$$

Así, para este ejemplo, si queremos saber cuántas personas han recibido la cadena en el cuarto reenvío, tendremos:

$$S_4=\frac{a_0(10^{5}-1)}{9}=\frac{50(99\ 999)}{9}=50\frac{99\ 999}{9}=555\ 550$$

Y para el caso general, el total de mensajes enviados en el $n$-ésimo envío estará dado por la expresión $$S_n=\frac{a_0(r^{n+1}-1)}{r-1}$$

Observa que $r$, el número de reenvíos, no puede ser 1.

Practiquemos un poco:

1. Usando el modelo idealizado de la trasmisión de un rumor, supón que éste comienza con 4 personas y cada una de ellas se lo cuenta a otras 4, y así sucesivamente, el número de personas que reciben el rumor justo en la quinta transmisión es de:

   Respuesta:

   Retroalimentación: $a_n= 4 (4^{n-1})=4^{n}$ $\therefore a_5=4^{5}=(2^{2})^{5}=2^{10}= 1024$

2. Para el modelo idealizado de la trasmisión de un rumor, partiendo de que comienza con 3 personas y cada una de ellas lo cuenta a otras 4 personas, y así sucesivamente se transmite a 4 personas siempre ¿Cuál es el total acumulado de personas que conocen el rumor al llegar a la séptima trasmisión?

   Respuesta:

   Retroalimentación: Recuerda que $S_n= a_1 \frac{(r_n – 1)}{(r-1) } $ aquí $a_1=3, r=4$ y $n=7$ $S_7=\frac{3(4^{7}-1)}{4-1}=16,383$ personas.

3. Supón que un rumor se propaga inicialmente a 6 personas y después cada una de ellas lo cuenta a otras 4 personas y así sucesivamente se transmite a 4 personas siempre ¿Cuál es el número de personas que ha recibido el rumor en la séptima transmisión?

   Respuesta:

   Retroalimentación: Recuerda que $S_n= a_1 \frac{(r_n – 1)}{(r-1) } $ aquí $a_1=6, r=4$ y $n=7$ $S_7=\frac{6(4^{7}-1)}{4-1}=32,766$ personas.

4. Supón que un rumor se propaga inicialmente a 4 personas y después cada una de ellas lo cuentan a otras 6 personas y así sucesivamente se transmite a 6 personas siempre. ¿Cuál es el número total de personas que ha recibido el rumor después de la quinta transmisión?

   Respuesta:

   Retroalimentación: Recuerda que $S_n= a_1 \frac{(r_n – 1)}{(r-1) } $ aquí $a_1=4, r=6$ y $n=5$ $S_5=\frac{4(6^{5}-1)}{6-1}=6,220$ personas.

5. Supón que se transmite un rumor según un modelo ideal de transmisión. ¿Cuál es el número de personas que reciben exactamente el rumor en la cuarta transmisión si inicialmente lo reciben 6 personas y después cada una de estas lo transmite a 2 personas y estas a su vez lo transmiten a otras 2 personas más y así sucesivamente a otras 2 siempre?

   Respuesta:

   Retroalimentación:  Recuerda que $a_n=a_1r^{n-1}$ aquí $a_1=6, r=2$ y $n=4$ entonces en la cuarta transmisión lo reciben $a_4= 6(2^{3})=48$ personas.

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